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行列の文系分野での応用
—新居 俊作
九州大学基幹教育
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ベクトルと行列
ベクトルと行列
•
数を縦に
m個横に
n並べてくカッコでくったものを
m×n行 列、
m行
n列行列、又は
(m, n)行列、或いは単に行列と呼 び、アルファベットの大文字で表す：
A=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
•
特に
1行
n列の行列を横ベクトルと呼び、小文字の太文字で 表し：
a= (a1, . . . , an)• m
行
1列行列を縦ベクトルと呼び、やはり小文字の太文字で 表す：
a=
a1
... am
ベクトルと行列
•
数を縦に
m個横に
n並べてくカッコでくったものを
m×n行 列、
m行
n列行列、又は
(m, n)行列、或いは単に行列と呼 び、アルファベットの大文字で表す：
A=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
•
特に
1行
n列の行列を横ベクトルと呼び、小文字の太文字で 表し：
a= (a1, . . . , an)• m
行
1列行列を縦ベクトルと呼び、やはり小文字の太文字で 表す：
a=
a1
... am
ベクトルと行列
•
数を縦に
m個横に
n並べてくカッコでくったものを
m×n行 列、
m行
n列行列、又は
(m, n)行列、或いは単に行列と呼 び、アルファベットの大文字で表す：
A=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
•
特に
1行
n列の行列を横ベクトルと呼び、小文字の太文字で 表し：
a= (a1, . . . , an)• m
行
1列行列を縦ベクトルと呼び、やはり小文字の太文字で 表す：
a=
a1
... am
ベクトルと行列
• m×n
行列
Aの
i行
j列にある数
ai,jを
Aの第
(i, j)成分：
A=
a1,1 · · · · · · a1,n
... ai,j · · · · · · am,1 · · · ... · · · am,n
i
行
j
列
•
横ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分：
a= (a1, . . . , ai, . . . , an)
•
縦ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分とよぶ：
a=
a1
... ai
... am
ベクトルと行列
• m×n
行列
Aの
i行
j列にある数
ai,jを
Aの第
(i, j)成分：
A=
a1,1 · · · · · · a1,n
... ai,j · · · · · · am,1 · · · ... · · · am,n
i
行
j
列
•
横ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分：
a= (a1, . . . , ai, . . . , an)
•
縦ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分とよぶ：
a=
a1
... ai
... am
ベクトルと行列
• m×n
行列
Aの
i行
j列にある数
ai,jを
Aの第
(i, j)成分：
A=
a1,1 · · · · · · a1,n
... ai,j · · · · · · am,1 · · · ... · · · am,n
i
行
j
列
•
横ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分：
a= (a1, . . . , ai, . . . , an)
•
縦ベクトル
aの
i番目の数
aiをベクトル
aの第
i成分とよぶ：
a=
a1
... ai
... am
ベクトルと行列
•
行列
Aの
(i, j)成分を
ai,jと書くことを示すのに
A= (ai,j)と書く場合がある。
•
或いは、
mn個の数
ai,j (i= 1. . . . , m, j = 1, . . . , n)を先に与 えられた時に、a
i,jを
(i, j)成分とする
m×n行列を
(ai,j)
と書くこともある。
ベクトルと行列
•
行列
Aの
(i, j)成分を
ai,jと書くことを示すのに
A= (ai,j)と書く場合がある。
•
或いは、
mn個の数
ai,j (i= 1. . . . , m, j = 1, . . . , n)を先に与 えられた時に、a
i,jを
(i, j)成分とする
m×n行列を
(ai,j)
と書くこともある。
行列の算法
行列の算法
スカラー倍：
行列の算法
スカラー倍：
αを数とし、A
=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
とするとき、
αA =
αa1,1 · · · αa1,n
... ...
αam,1 · · · αam,n
a= (a1, . . . , an)
とするとき、
αa= (αa1, . . . , αan) a=
a1
... am
とするとき
αa=
αa1
... αam
行列の算法
スカラー倍：
αを数とし、A
=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
とするとき、
αA =
αa1,1 · · · αa1,n
... ...
αam,1 · · · αam,n
a= (a1, . . . , an)
とするとき、
αa= (αa1, . . . , αan) a=
a1
... am
とするとき
αa=
αa1
... αam
行列の算法
スカラー倍：
αを数とし、A
=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
とするとき、
αA =
αa1,1 · · · αa1,n
... ...
αam,1 · · · αam,n
a= (a1, . . . , an)
とするとき、
αa= (αa1, . . . , αan) a=
a1
... am
とするとき
αa=
αa1
... αam
行列の算法
加法と減法：
行列の算法
加法と減法：
A=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
, B =
b1,1 · · · b1,n
... ...
bm,1 · · · bm,n
とするとき
A±B =
a1,1±b1,1 · · · a1,n±b1,n
... ...
am,1±bm,1 · · · am,n±bm,n
a= (a1, . . . , an)
、
b= (b1, . . . , bn)とするとき
a±b= (a1±b1, . . . , an±bn)行列の算法
加法と減法：
A=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
, B =
b1,1 · · · b1,n
... ...
bm,1 · · · bm,n
とするとき
A±B =
a1,1±b1,1 · · · a1,n±b1,n
... ...
am,1±bm,1 · · · am,n±bm,n
a= (a1, . . . , an)
、
b= (b1, . . . , bn)とするとき
a±b= (a1±b1, . . . , an±bn)行列の算法
加法と減法：
a=
a1
... am
,b=
b1
... bm
とするとき
a±b=
a1±b1 ... am±bm
行列の算法
積：
行列の算法
積：
l×m行列
A=
a1,1 · · · a1,m
... ...
al,1 · · · al,m
と
m×n
行列
B =
b1,1 · · · b1,n
... ...
bm,1 · · · bm,n
に対し
l×n行列
AB=i
行
a1,1 · · · · · · a1,m
... ...
ai,1 · · · ai,k · · · ai,m
... ...
al,1 · · · · · · al,m
b1,1 · · · b1,j · · · b1,n
... ... ...
bk,j
... ... ...
bm,1 · · · bm,j · · · bm,n
列
行列の算法
積：
l×m行列
A=
a1,1 · · · a1,m
... ...
al,1 · · · al,m
と
m×n
行列
B =
b1,1 · · · b1,n
... ...
bm,1 · · · bm,n
に対し
l×n行列
AB=i
行
a1,1 · · · · · · a1,m
... ...
ai,1 · · · ai,k · · · ai,m
... ...
al,1 · · · · · · al,m
b1,1 · · · b1,j · · · b1,n
... ... ...
bk,j
... ... ...
bm,1 · · · bm,j · · · bm,n
列
行列の算法
積：
l×n行列
AB=i
行
a1,1 · · · · · · a1,m
... ...
ai,1 · · · ai,k · · · ai,m
... ...
al,1 · · · · · · al,m
b1,1 · · · b1,j · · · b1,n
... ... ...
bk,j
... ... ...
bm,1 · · · bm,j · · · bm,n
j
列
=i
行
∑m k=1
a1,kbk,1 · · · ∑m
k=1
a1,kbk,n
· · · ∑m
k=1
ai,kbk,j ...
∑m k=1
al,kbk,1 ...
∑m k=1
al,kbk,n
j
列
行列の算法
積：
l×n行列
AB=i
行
a1,1 · · · · · · a1,m
... ...
ai,1 · · · ai,k · · · ai,m
... ...
al,1 · · · · · · al,m
b1,1 · · · b1,j · · · b1,n
... ... ...
bk,j
... ... ...
bm,1 · · · bm,j · · · bm,n
j
列
=i
行
∑m k=1
a1,kbk,1 · · · ∑m
k=1
a1,kbk,n
· · · ∑m
k=1
ai,kbk,j ...
∑m k=1
al,kbk,1 ...
∑m k=1
al,kbk,n
j
列
行列の算法
積： 特に
x= (x1,· · ·, xm)に対し
xA = (x1,· · · , xm)
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
= ( m
∑
k
xkak,1, . . . ,
∑m k
xkak,n )
y=
y1
... yn
に対し
Ay=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
y1
... yn
=
∑m k
a1,kyk
...
∑m
am,kyk
行列の算法
積： 特に
x= (x1,· · ·, xm)に対し
xA = (x1,· · · , xm)
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
= ( m
∑
k
xkak,1, . . . ,
∑m k
xkak,n )
y=
y1
... yn
に対し
Ay=
a1,1 · · · a1,n
... ...
am,1 · · · am,n
y1
... yn
=
∑m k
a1,kyk
...
∑m
am,kyk
行列の算法
商：
行列の算法
商： 行列に商(割り算
)はありません。
和、差、スカラー倍、積の性質
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
A、B、C
を行列とし、α、β を数とするとき
1 A+B =B +A
、
(−1)Bを
−Bと書くと
A−B =−B+A2 (A+B) +C =A+ (B+C)
3 (αβ)A=α(βA)
4 α(A+B) =αA+αB
5 (α+β)A=αA+βA
6 1A =A
7 (AB)C =A(BC)
8 A(B+C) = AB+AC
9 (A+B)C =AC+BC
和、差、スカラー倍、積の性質
注意
和、差、スカラー倍、積の性質
注意
交換法則
⃝1積については交換法則は成り立たない。つまり多く の場合に
AB ̸=BAとなる。
例
(1 1) (1 1 )
= (2)
だが
(11
) (1 1)
= (1 1
1 1 )
結合法則
⃝2 ⃝3 ⃝6行列の計算では特別に成り立つということであっ て、どのような計算でも常に成り立つ訳ではない。
例
a
、
b、
cを数として
(a÷b)÷c̸=a÷(b÷c)分配法則
⃝4 ⃝5 ⃝7 ⃝8これも、どのような計算でも常に成り立つ訳 ではない。
例
a
、
b、
cを数として
a÷(b+c)̸=a÷b+a÷c和、差、スカラー倍、積の性質
注意
交換法則
⃝1積については交換法則は成り立たない。つまり多く の場合に
AB ̸=BAとなる。
例
(1 1) (1 1 )
= (2)
だが
(11
) (1 1)
= (1 1
1 1 )
結合法則
⃝2 ⃝3 ⃝6行列の計算では特別に成り立つということであっ て、どのような計算でも常に成り立つ訳ではない。
例
a
、
b、
cを数として
(a÷b)÷c̸=a÷(b÷c)分配法則
⃝4 ⃝5 ⃝7 ⃝8これも、どのような計算でも常に成り立つ訳 ではない。
例
a
